抽樣分布是統(tǒng)計學中一個重要的概念，它描述了從總體中抽取多個樣本后，樣本統(tǒng)計量(如平均數(shù)、標準差、比例等)的分布情況。抽樣分布有助于我們理解樣本統(tǒng)計量的變異性，并且在進行統(tǒng)計推斷時提供了基礎(chǔ)。這篇文章為大家?guī)砼P龍崗大學統(tǒng)計學抽樣分布重點解析。

一、抽樣分布概述

許多基本的多元方法都使用 F 分布及其相關(guān)檢驗和臨界值：它是化學計量學中許多常用統(tǒng)計檢驗的基礎(chǔ)，例如，用于檢測異常值或觀測值是否屬于預(yù)定義類別。

我們已經(jīng)看到，當一個群體具有基本的正態(tài)分布，但樣本量較小時，t 分布適用于估計臨界值或置信限。這主要是由于確定群體標準差的難度較大，而使用的方法往往會低估標準差，從而導致平均值的表面分布失真。

二、卡方分布

當我們討論卡方分布 1 時，我們注意到它代表了馬哈拉諾比斯距離均值平方的分布，特別是如果測量的變量不止一個，就沒有特定的正負方向，因此，使用平方距離(與方向無關(guān))是至關(guān)重要的。因此，卡方分布很自然地從單變量數(shù)據(jù)擴展到了多變量數(shù)據(jù)。

當變量不止一個但樣本量較小時，F(xiàn) 分布可視為 t 分布的等效擴展。文獻中有許多引入該分布的方法，它被廣泛應(yīng)用于許多不同的領(lǐng)域。在本文和下一篇文章中，我們主要關(guān)注多維空間中的數(shù)據(jù)分布：F 分布通常在方差分析中引入。在以后的文章中，我們還會在其他場合遇到這種分布及其相關(guān)統(tǒng)計量。

三、自由度

F 分布有兩種不同的自由度。

通常寫作 F(ν1,ν2)。F 分布的累積分布函數(shù)(cdf)或概率密度函數(shù)的橫軸代表 F 統(tǒng)計量。我們將在下一篇文章中看到，如果變量不止一個，它就不等于馬哈拉諾比斯距離的平方，這與卡方統(tǒng)計量不同。

在我們的上下文中，如果我們考慮一個由 n 個觀測值和 k 個變量組成的樣本，那么 ν1 表示變量的數(shù)量，ν2 表示觀測值的數(shù)量減去變量的數(shù)量(n - k)。

注意，F(xiàn)(ν1, ν2) ≠ F(ν2, ν1)。

如果數(shù)據(jù)集以矩陣格式表示，那么行數(shù)等于 ν2 + ν1，列數(shù)等于 ν1。

需要注意的是，定義矩陣的維數(shù)時，通常是先行后列，但為了 F 分布的目的，我們將其對調(diào)，第一個自由度指的是數(shù)據(jù)矩陣中的變量數(shù)或列數(shù)。如圖 1 所示。

請注意，n 不能小于 k。這個明顯的限制已在 Mahalanobis 距離 2 中討論過。不過，可以通過先進行主成分分析以減少變量數(shù)量來克服這一限制。

重要的是要記住，與卡方分布一樣，F(xiàn) 分布只有在變量獨立的情況下才能得到。然而，如果我們使用馬哈拉諾比斯距離度量，則如前文所討論的那樣，F(xiàn) 分布始終是獨立的，因為這實際上等同于進行主成分變換。

四、單變量關(guān)系

如果只有 1 個自由度，那么數(shù)據(jù)就是單變量的，可以得出幾種直接的關(guān)系。

為了便于說明，我們考慮 F 值為 4 的測量。

如果樣本量較大，那么 F 分布、卡方分布和 t2 分布都會得出相同的結(jié)果。

在 Excel 中輸入 F.DIST(4,1,10 000 - 1,TRUE)，n = 10 000：4 代表 F 值，1 等于 ν1，10 000 - 1 等于 ν2。邏輯值 "TRUE "代表累積分布。這應(yīng)該給出預(yù)計 F 統(tǒng)計量小于 4 的數(shù)據(jù)比例。

要檢查卡方分布，請輸入 CHISQ.DIST(4,1,TRUE)。

對于 t，我們應(yīng)該記住，我們處理的是 F 和卡方分布的平方距離，而使用 t 時處理的是它們的平方根，當然本例只涉及一個變量。鍵入 (T.DIST(SQRT(4),10 000,TRUE) - 0.5)*2。這個表達式相當長，因為我們需要計算 t 統(tǒng)計量位于平均值兩側(cè) +2 和 -2 之間的數(shù)據(jù)的預(yù)期比例。

所有情況下的答案都應(yīng)該是 0.954。因此，95.4% 的人口的 chi 平方或 F 統(tǒng)計量小于 4，或 t 統(tǒng)計量小于 2(4 的平方根)。

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